¿Qué es el infinito? O expresado de otra forma ¿Qué queremos decir cuando afirmamos que una colección de objetos es infinita? Por objetos entenderemos cualquier cosa en su sentido más amplio, incluyendo objetos abstractos o imaginarios, como puedan ser, por ejemplo, los jueves de un determinado año.

Preguntémonos primero que significa que una colección de objetos sea finita. La palabra finita quiere decir “que termina”, “que no sigue indefinidamente” por lo que, al menos en teoría, es posible contar uno por uno todos los objetos que forman la colección y el contaje terminará en algún momento. Imaginemos que todos los habitantes de la Tierra tienen, cada uno de ellos, una botella llena de agua. La colección formada por todas las moléculas de agua contenidas en esos miles de millones de botellas es finita. Aunque en la práctica sean imposibles de contar, podemos imaginar un proceso que, en teoría, nos permitiría ir separando cada molécula de las demás y así poder contarlas una a una. La dificultad puede ser enorme y el tiempo empleado en ello inmenso, pero al final el contaje terminaría en algún momento. Por el contrario, una colección es infinita si al intentar contar uno por uno todos los elementos que la componen, esa cuenta nunca termina.

Llegados a este punto hay que señalar que el infinito puede ser “en potencia” o “en acto”. A continuación veremos la diferencia entre una y otra forma de infinito. Para ello imaginemos que alguien se propone anotar, uno por uno, todos los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5…. En algún momento llegará al mil, al cien mil, al millón, y así sucesivamente. Nuestro escriba acabará por darse cuenta que su vida no le alcanza para terminar la tarea y decide encargársela a un sucesor para que la continúe. A su debido tiempo a este sucesor le ocurrirá lo mismo y pasará el encargo a un nuevo sucesor. Aunque la lista de sucesores se alargue durante toda la duración de Universo, e incluso la de todos los universos que queramos pensar, nunca llegarán al último número natural, simplemente porque no existe, siempre habrá un número más por escribir.

Entonces, la pregunta es ¿es infinita la colección de todos los números anotados por estos escribas? La respuesta es que sí, es infinita, pero solo en sentido potencial. Fijado un instante cualquiera en el tiempo, no importa lo lejano en el futuro que esté, la colección de todos los números escritos hasta ese momento será finita, pero seguirá siempre creciendo sin limitaciones. Hablamos entonces de un infinito en potencia cuando pensamos en una colección que es siempre finita, pero que puede ser aumentada indefinidamente sin restricciones.

Pero pensemos ahora en la colección formada por todos los números naturales, absolutamente todos sin excepción, sin importar si han sido o no escritos. Obviamente se trata de una colección que es también infinita, pero en este caso se trata de un infinito estático, completo, donde están ya todos los componentes de la colección, no quedando ya ningún número por agregar. Hablamos en este caso de un infinito en acto. Podemos poner otro ejemplo: si dibujamos una línea recta entre dos puntos A y B, su longitud será evidentemente finita, pero la geometría nos dice que podemos prolongar esa línea tanto como queramos, y si admitimos que esa prolongación puede seguir indefinidamente, tendremos entonces una línea cuya longitud es infinita en potencia. Sin embargo, las rectas que considera la geometría tienen una longitud que se supone infinita en acto, no tienen extremos y se extienden indefinidamente sin principio ni fin.

Evidentemente esas rectas ideales, infinitas en acto, de la geometría, son imposibles de dibujar. En el mundo material y real, no en el abstracto de las ideas, todas las magnitudes relacionadas con fenómenos naturales nunca son infinitas en acto. Es posible que ni la materia ni el tiempo no sean infinitamente divisibles, si no que exista un mínimo a partir del cual no se puede conseguir dividirlos más. Aunque el Universo esté en expansión, en su conjunto tiene un volumen y un diámetro que son sólo potencialmente infinitos. Igualmente, el tiempo que estará expandiéndose es infinito sólo en potencia.

Aristóteles fue el primero en estudiar la distinción que hay entre “ser en potencia” y “ser en acto”. Sabemos que un niño es un adulto en potencia, y que algún día llegará a ser, en acto, un adulto. Pero en relación al infinito, Aristóteles afirmó:

La potencia respecto al infinito no es de una naturaleza tal que el acto pueda jamás realizarse.

Es decir, el infinito siempre es en potencia, nunca en acto. Aristóteles justifica esto argumentando que no hay en el Universo nada cuyo volumen sea infinito en acto, o un intervalo de tiempo cuya extensión sea actualmente infinita en acto. Dado que no existen magnitudes infinitas, tampoco tiene sentido hablar de números infinitos en acto, o cantidades infinitas en acto, pues esas cantidades infinitas no medirían nada en absoluto, carecerían de todo sentido. Otro argumento que usa Aristóteles es que no es cierto que un segmento de línea esté formado por una cantidad infinita de puntos. Aclaremos que nos estamos refiriendo a puntos matemáticos ideales, es decir objetos abstractos sin longitud, anchura ni altura, no a los puntitos tipográficos –muy pequeños, pero medibles- que vemos en cualquier representación gráfica de este concepto. Entonces, un punto matemático tiene, por definición, un tamaño exactamente igual a cero. Y, como dijo Aristóteles, si reunimos muchos puntos, la longitud total será 0+0+0+0… Aunque sumemos una cantidad infinita de ceros, la longitud total seguirá siendo cero. En conclusión, si un segmento estuviese formado por puntos, su longitud sería cero. Pero, como sabemos, las longitudes de los segmentos no son iguales a cero, y por tanto no pueden estar formados por puntos. Toda una paradoja.

Como consecuencia de este razonamiento, afirma Aristóteles que también es imposible dividir un segmento en una cantidad infinita de partes. Por ejemplo, si tenemos un segmento de 10 cm. de longitud y lo dividimos en mil partes iguales, cada una mediría 0’01 cm. Pero si lo dividiéramos en una cantidad infinita de partes, cada una de ellas mediría 0 cm. Pero ya vimos que esto último es imposible, por lo tanto no se podría dividir un segmento en infinitas partes.

Con este último razonamiento Aristóteles niega el infinito por división, mientras que el argumento de las magnitudes infinitas niega el infinito por adición. En todos los casos Aristóteles concluye que el infinito en acto no existe.

En la Edad Media, todo esto adquirió una dimensión religiosa. San Agustín, en su obra más famosa La ciudad de Dios, argumenta que Dios, como ser omnisciente, conoce la totalidad de los números naturales y que afirmar lo contrario sería “hundirse en un remolino de impiedad”. Que la infinitud de los números no es incomprensible para aquel cuya inteligencia no tiene límites. Es decir, el infinito en acto existe, pero sólo está reservado al conocimiento de Dios. Pretender que la mente humana pueda comprender el infinito sería equipararla con la mente divina y, por tanto, una herejía.

El pensamiento aristotélico sobre el infinito dominó en la filosofía y en las matemáticas occidentales hasta la década de 1870, cuando el matemático ruso-alemán Georg Cantor, desarrolló una de las teorías más asombrosas que se conocen e introdujo en las matemáticas el estudio del infinito en acto. En una próxima publicación hablaremos de Cantor y sus revolucionarias investigaciones.