Para mucha gente el infinito implica algo inmenso e imposible de contar o medir, como por ejemplo: los granos de arena de las playas -que en realidad no son infinitos-. Sin embargo hace tiempo que los matemáticos empezaron a intentar obtener una medida del infinito y a descubrir reglas que permitieran que el infinito engrosara las filas de otros objetos matemáticos como un concepto lógico y disciplinado. Con todo no fue hasta el siglo XIX cuando se lograron progresos decisivos, especialmente gracias al trabajo Georg Cantor, matemático ruso nacido en 1845 en San Petersburgo, a quien se le atribuye la invención de la teoría de conjuntos y la de los cardinales transfinitos de la que hablaremos detalladamente.

El primer paso en el camino hacia el infinito es el descartar cualquier idea de lo «muy, muy grande». El infinito es mayor que cualquier número por muy grande que sea. Aristóteles hablaba de infinito potencial, como algo a lo que podemos aproximarnos cuanto queramos pero sin llegar nunca a alcanzarlo. Podemos visualizarlo en la siguiente figura, en la que vemos como se puede considerar al círculo como el resultado de un polígono en el cual el número de lados crece indefinidamente acercándosele cada vez más  pero sin llegar a alcanzarlo nunca.

 

 

El principio básico subyacente en el infinito potencial es el de que hay sistemas, como los números naturales 1, 2, 3, 4… que no tienen límite superior, de forma que nada impide que crezcan más y más. El hecho de que el infinito sea algo que nunca se puede alcanzar , algo nunca consumado, lleva a algunas paradojas embarazosas, como la de Zenón, que produjo un molesto sentimiento de incomodidad en la matemática durante 2.000 años. Esta paradoja ilustra también una cosa a primera vista sorprendente: que la suma de infinitos números puede, no obstante, dar un resultado finito. En este caso:

                                     1 + ½ + ¼ + 1/8 + …. = 2

En el siglo XVII Leibniz ya puso de relieve otra extraña propiedad del infinito. Imaginemos una fila con todos los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6… Se les da la orden «doblad vuestro valor» y todos se convierten en números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12… Esta mutación no ha hecho variar la cantidad de números que hay, y por tanto debe haber tantos números pares como números naturales había al principio. ¡Pero el conjunto original de números: 1, 2, 3, 4, 5… contiene a los números pares, y también a los impares!

Este resultado es asombroso. Si el infinito de números pares es tan numeroso como el de pares e impares juntos, parece como si doblando el infinito nos quedásemos con el mismo infinito. Es más, se puede mostrar fácilmente que triplicar, cuaduplicar o multiplicar el infinito por cualquier otro número tiene igualmente poco efecto. De hecho si multiplicamos infinito por infinito, éste se resiste a crecer .

Si parece sorprendente que juntando todos los números pares con los impares no hagamos mayor el infinito, lo parecerá más todavía descubrir que el resultado sigue siendo igualmente cierto incluso si juntamos también todos los números fraccionarios. Al igual que los números no tienen límite ni se acaban nunca, lo mismo ocurre con las fracciones que formamos con ellos. Pero más aún, porque hay legiones enteras de infinidades de fracciones entre cada dos números naturales. Ello es así debido a que entre dos fracciones cualquiera, por muy próximos que sean sus valores, hay todavía infinitas fracciones. Por ejemplo, tomemos dos fracciones próximas como 1/250 y 1/251. Entre ellas hay otras fracciones como 2/501 y 4/1001. Entre estas dos se hallan otras y así sucesivamente sin ningún límite.

Hay por lo tanto infinidad de infinidad de infinidad de fracciones que van apareciendo sin fin por todos los segmentos cada vez menores de la línea. Pero preguntémosle a un matemático si hay más fracciones que números enteros y responderá que no. A pesar de las infinitas reservas de fracciones que hay en el más pequeño de los intervalos que podamos tomar, dichas fracciones se pueden contar individualmente y se pueden numerar con los números naturales (es decir, aparejarlas con ellos una a una). Cualquier conjunto infinito de cosas que puedan contarse 1, 2, 3, 4, 5… tiene lo que Cantor denominó cardinal ℵ0 (alef cero. Alef es la primera letra del alfabeto hebreo). Desde luego, no es posible contar realmente este conjunto; lo único que se demuestra es que cabe ponerlo en correspondencia biunívoca con los números naturales. Los números primos, por ejemplo, sería otro conjunto de alef cero.

En este punto puede parecer que el infinito de los números naturales es tan grande que no se le puede incrementar, pero esto es falso. En un famoso teorema, Cantor demostró lo aparentemente imposible: que hay conjuntos tan grandes que no podemos contar sus elementos, incluso con ayuda de los infinitos números naturales de que disponemos. Por tanto este infinito, debe ser mayor que el de todos los números naturales y todos los números fraccionarios juntos. A este tipo superior de infinito Cantor lo denominó ℵ1 (alef 1).

Pero ¿cómo puede haber más cantidad de algo que de números? Antes de discutir la demostración de Cantor, echemos una mirada a este misterio de los números que faltan. Fijémonos de nuevo en la figura anterior. Cada fracción o número entero corresponde a un punto de la línea. ¿Pero lo inverso es también cierto? ¿Podemos asociar a cada punto una fracción? Los antiguos griegos así lo habían creído. Después de todo disponemos de infinitos ejércitos de fracciones, apiñadas de forma infinitamente densa. ¿Habrá puntos en la línea que de alguna forma se «esconden» en huecos entre las fracciones, a pesar de que éstas estén infinitamente cerca unas de otras?

Los pitagóricos descubrieron que realmente existen estos números extras en los huecos. Tomemos un cuadrado cuyo lado mida la unidad. Entonces, y según el Teorema de Pitágoras, la longitud de la diagonal de dicho cuadrado sería la raíz cuadrada de 2. Este es un número extraordinario pues no puede ser expresado como el cociente o razón de n/m, donde n y m son números enteros cualquiera sin ningún divisor común (excepto el 1). Estos números, como la raíz cuadrada de 2, que no pueden expresarse en forma de razón entera, se denominan irracionales, y su descubrimiento produjo tal consternación en escuela pitagórica que los pocos iniciados que los conocían estaban obligados a mantener el secreto so pena de expulsión o muerte. Dicho de otra forma, el punto que en la figura corresponde a la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado la unidad, no tiene ninguna fracción asociada. Está, por increíble que parezca, escondido en un hueco infinitesimal entre las fracciones que se apiñan de forma infinitamente densa alrededor suyo. Existen infinitos números irracionales, el más conocido de los cuales es π.

Con el fin de simbolizar el conjunto de los números racionales e irracionales se utiliza el sistema decimal. Algunas fracciones, como 1/4, tienen una forma decimal finita (0’25), mientras que otras, como 1/3, necesitan de una forma decimal periódica infinita (0’3333…). Todos los números irracionales como π, precisan de infinitos decimales no periódicos. El gran hallazgo de Cantor fue que el conjunto de todos los decimales (es decir, los racionales y los irracionales) constituye un infinito mayor, el ℵ1, que el conjunto de las fracciones o números racionales. La esencia de la demostración de Cantor es que, si los decimales fueran solamente tan numerosos como las fracciones, entonces sería posible contar a todos los decimales uno por uno con los números enteros 1, 2, 3, 4…. Fijémonos en la siguiente tabla

1     0. 2 8 3 0 7 1 4 9….
2     0. 9 1 5 2 1 9 3 2…
3     0. 8 8 4 7 5 6 2 8…
4     0. 3 1 0 7 8 4 5 4…
5     0. 2 9 1 3 9 2 6 6…
6     0. 7 6 8 4 2 0 3 1…
7     0. 4 1 9 8 6 6 5 3…
8     0. 6 0 0 2 7 9 3 8…
 .     ……………………

.     ……………………

.     ……………………

 

Si escribimos todos los decimales en una columna infinita, uno debajo del otro, podríamos irlos marcando con 1, 2, 3… (El orden concreto no importa, y la tabla anterior muestra uno escogido al azar). Vamos bajando por la diagonal 21479058…y sumamos uno en cada posición, con lo que tendremos 32580169… Evidentemente el decimal 0’32580169… no puede estar en ningún lugar de la tabla original, pues difiere del primer decimal de dicha tabla en su primera cifra, del segundo decimal en su segunda cifra, etc. En general difiere del enésimo decimal en su enésima cifra. Osea que llegamos a la asombrosa conclusión que el conjunto de los números decimales no es numerable, es un infinito mayor que el de los números enteros. Es por tanto un infinito superior, 1, o también transfinito.

¿Son todo esto que hemos explicado, rebuscadas sutilezas con las que los matemáticos se divierten, o tiene alguna conexión importante con la realidad física? La respuesta es que el infinito aparece repetidamente en las teorías cosmológicas, y muy especialmente en conexión con las singularidades del espacio-tiempo. Como ejemplo. veamos una extraña contradicción inherente a la teoría del Universo estacionario, en la que intervienen los dos alefs.

Pero antes veamos la siguiente variante de la demostración de la diagonal de Cantor.

Consideremos un conjunto finito de 3 objetos, digamos una llave, un reloj y un anillo. En la figura podemos ver todos los subconjuntos que se pueden formar con esos 3 objetos. El recuadro blanco indica que el objeto que aparece encima está en el subconjunto, y el recuadro negro indica que no lo está. El primer subconjunto estaría formado por los 3 elementos, y el último por ninguno. En medio se representan todas las combinaciones entre ambas posibilidades. Para cualquier conjunto de n elementos el número de subconjuntos será 2ⁿ. (Es fácil ver por qué: cada elemento puede estar incluido o no, así que para uno hay dos subconjuntos, para dos hay 2 x 2= 4 subconjuntos, para tres hay 2 x 2 x 2=8 subconjuntos, y así sucesivamente).

Si representamos los cuadrados negros como 0, y los blancos como 1, y en lugar de 3 objetos cogemos una serie infinita de ellos, podremos construir la siguiente figura

Ahora tenemos, en la parte izquierda, un número infinito de objetos y la representación de los diversos subconjuntos que se pueden formar, que como hemos dicho será 2 elevado a infinito. La parte de la derecha de esta figura es equivalente a la tabla de los infinitos decimales que vimos anteriormente, pero puestos en base 2 en lugar de en base 10. Y podemos hacer la misma transformación de una cifra en cada hilera, bajando en diagonal como hicimos antes para encontrar un número que no está en la tabla de los decimales pese a ser infinita. Digámoslo de otra manera: el infinito tiene un ℵ0, pero el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto ℵ0 tiene el cardinal 2 elevado a la potencia ℵ0 y da como resultado un alef superior, el ℵ1. Expresado matemáticamente:

2^ℵ0 = ℵ1

Veamos como se aplica todo esto en la teoría del Universo estacionario. En esta, a diferencia de la del Big Bang, se preconiza que el Universo no tuvo ningún instante de inicio, sino que existe desde un tiempo infinito, permaneciendo siempre en un estado general estacionario (de ahí su nombre) tal y como podemos observarlo actualmente, considerando el Universo todo en su conjunto, no localmente. Según está teoría -y para compensar la expansión del Universo que rompería la «estacionalidad»-, continuamente se está formando materia nueva que compensa la que se va dispersando en tal expansión, de forma que el Universo permanece estático, salvo pequeñas irregularidades locales (irrelevantes en una visión global del Universo), desde hace un tiempo infinito. Osea que cada determinado tiempo, el número de átomos del Universo se duplica, y se vuelve a duplicar, y así lleva haciéndolo desde la eternidad.

Pero los átomos o las partículas subatómicas que los formen son un conjunto numerable, en tanto que son entidades físicas distintas de las ideales de las matemáticas, y por tanto son un conjunto ℵ0, aunque su número sea infinito. Sin embargo, según la teoría del Universo estacionario, llevan duplicándose infinitas veces, y como hemos visto 2^ℵ0 = ℵ1. El espacio infinito puede acomodar fácilmente cualquier número finito de duplicaciones de la cantidad de átomos, ya que siempre que el alef cero se multiplica por 2, el resultado es alef cero nuevamente. Pero el Cosmos no puede contener un conjunto alef 1 de átomos. Esta contradicción, es otro de los motivos por los que la mayoría de los astrónomos opta por la teoría del Big Bang y descarta la del Universo estacionario.