Categoría: Miscelánea

INFINITO EN POTENCIA O EN ACTO

INFINITO EN POTENCIA O EN ACTO

¿Qué es el infinito? O expresado de otra forma ¿Qué queremos decir cuando afirmamos que una colección de objetos es infinita? Por objetos entenderemos cualquier cosa en su sentido más amplio, incluyendo objetos abstractos o imaginarios, como puedan ser, por ejemplo, los jueves de un determinado año.

Preguntémonos primero que significa que una colección de objetos sea finita. La palabra finita quiere decir “que termina”, “que no sigue indefinidamente” por lo que, al menos en teoría, es posible contar uno por uno todos los objetos que forman la colección y el contaje terminará en algún momento. Imaginemos que todos los habitantes de la Tierra tienen, cada uno de ellos, una botella llena de agua. La colección formada por todas las moléculas de agua contenidas en esos miles de millones de botellas es finita. Aunque en la práctica sean imposibles de contar, podemos imaginar un proceso que, en teoría, nos permitiría ir separando cada molécula de las demás y así poder contarlas una a una. La dificultad puede ser enorme y el tiempo empleado en ello inmenso, pero al final el contaje terminaría en algún momento. Por el contrario, una colección es infinita si al intentar contar uno por uno todos los elementos que la componen, esa cuenta nunca termina.

Llegados a este punto hay que señalar que el infinito puede ser “en potencia” o “en acto”. A continuación veremos la diferencia entre una y otra forma de infinito. Para ello imaginemos que alguien se propone anotar, uno por uno, todos los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5…. En algún momento llegará al mil, al cien mil, al millón, y así sucesivamente. Nuestro escriba acabará por darse cuenta que su vida no le alcanza para terminar la tarea y decide encargársela a un sucesor para que la continúe. A su debido tiempo a este sucesor le ocurrirá lo mismo y pasará el encargo a un nuevo sucesor. Aunque la lista de sucesores se alargue durante toda la duración de Universo, e incluso la de todos los universos que queramos pensar, nunca llegarán al último número natural, simplemente porque no existe, siempre habrá un número más por escribir.

Entonces, la pregunta es ¿es infinita la colección de todos los números anotados por estos escribas? La respuesta es que sí, es infinita, pero solo en sentido potencial. Fijado un instante cualquiera en el tiempo, no importa lo lejano en el futuro que esté, la colección de todos los números escritos hasta ese momento será finita, pero seguirá siempre creciendo sin limitaciones. Hablamos entonces de un infinito en potencia cuando pensamos en una colección que es siempre finita, pero que puede ser aumentada indefinidamente sin restricciones.

Pero pensemos ahora en la colección formada por todos los números naturales, absolutamente todos sin excepción, sin importar si han sido o no escritos. Obviamente se trata de una colección que es también infinita, pero en este caso se trata de un infinito estático, completo, donde están ya todos los componentes de la colección, no quedando ya ningún número por agregar. Hablamos en este caso de un infinito en acto. Podemos poner otro ejemplo: si dibujamos una línea recta entre dos puntos A y B, su longitud será evidentemente finita, pero la geometría nos dice que podemos prolongar esa línea tanto como queramos, y si admitimos que esa prolongación puede seguir indefinidamente, tendremos entonces una línea cuya longitud es infinita en potencia. Sin embargo, las rectas que considera la geometría tienen una longitud que se supone infinita en acto, no tienen extremos y se extienden indefinidamente sin principio ni fin.

Evidentemente esas rectas ideales, infinitas en acto, de la geometría, son imposibles de dibujar. En el mundo material y real, no en el abstracto de las ideas, todas las magnitudes relacionadas con fenómenos naturales nunca son infinitas en acto. Es posible que ni la materia ni el tiempo no sean infinitamente divisibles, si no que exista un mínimo a partir del cual no se puede conseguir dividirlos más. Aunque el Universo esté en expansión, en su conjunto tiene un volumen y un diámetro que son sólo potencialmente infinitos. Igualmente, el tiempo que estará expandiéndose es infinito sólo en potencia.

Aristóteles fue el primero en estudiar la distinción que hay entre “ser en potencia” y “ser en acto”. Sabemos que un niño es un adulto en potencia, y que algún día llegará a ser, en acto, un adulto. Pero en relación al infinito, Aristóteles afirmó:


La potencia respecto al infinito no es de una naturaleza tal que el acto pueda jamás realizarse.


Es decir, el infinito siempre es en potencia, nunca en acto. Aristóteles justifica esto argumentando que no hay en el Universo nada cuyo volumen sea infinito en acto, o un intervalo de tiempo cuya extensión sea actualmente infinita en acto. Dado que no existen magnitudes infinitas, tampoco tiene sentido hablar de números infinitos en acto, o cantidades infinitas en acto, pues esas cantidades infinitas no medirían nada en absoluto, carecerían de todo sentido. Otro argumento que usa Aristóteles es que no es cierto que un segmento de línea esté formado por una cantidad infinita de puntos. Aclaremos que nos estamos refiriendo a puntos matemáticos ideales, es decir objetos abstractos sin longitud, anchura ni altura, no a los puntitos tipográficos –muy pequeños, pero medibles- que vemos en cualquier representación gráfica de este concepto. Entonces, un punto matemático tiene, por definición, un tamaño exactamente igual a cero. Y, como dijo Aristóteles, si reunimos muchos puntos, la longitud total será 0+0+0+0… Aunque sumemos una cantidad infinita de ceros, la longitud total seguirá siendo cero. En conclusión, si un segmento estuviese formado por puntos, su longitud sería cero. Pero, como sabemos, las longitudes de los segmentos no son iguales a cero, y por tanto no pueden estar formados por puntos. Toda una paradoja.

Como consecuencia de este razonamiento, afirma Aristóteles que también es imposible dividir un segmento en una cantidad infinita de partes. Por ejemplo, si tenemos un segmento de 10 cm. de longitud y lo dividimos en mil partes iguales, cada una mediría 0’01 cm. Pero si lo dividiéramos en una cantidad infinita de partes, cada una de ellas mediría 0 cm. Pero ya vimos que esto último es imposible, por lo tanto no se podría dividir un segmento en infinitas partes.

Con este último razonamiento Aristóteles niega el infinito por división, mientras que el argumento de las magnitudes infinitas niega el infinito por adición. En todos los casos Aristóteles concluye que el infinito en acto no existe.

En la Edad Media, todo esto adquirió una dimensión religiosa. San Agustín, en su obra más famosa La ciudad de Dios, argumenta que Dios, como ser omnisciente, conoce la totalidad de los números naturales y que afirmar lo contrario sería “hundirse en un remolino de impiedad”. Que la infinitud de los números no es incomprensible para aquel cuya inteligencia no tiene límites. Es decir, el infinito en acto existe, pero sólo está reservado al conocimiento de Dios. Pretender que la mente humana pueda comprender el infinito sería equipararla con la mente divina y, por tanto, una herejía.

El pensamiento aristotélico sobre el infinito dominó en la filosofía y en las matemáticas occidentales hasta la década de 1870, cuando el matemático ruso-alemán Georg Cantor, desarrolló una de las teorías más asombrosas que se conocen e introdujo en las matemáticas el estudio del infinito en acto. En una próxima publicación hablaremos de Cantor y sus revolucionarias investigaciones.

¿ES ESTABLE EL SISTEMA SOLAR?

¿ES ESTABLE EL SISTEMA SOLAR?

En su obra Principia, Newton estableció que de la misma manera que los planetas gravitan hacia el Sol, éste gravita hacia los planetas. Todo cuerpo del Sistema Solar, planetas, satélites, etc., no sólo está sometido a la atracción solar, sino también a la interacción gravitatoria del resto, todos entre sí. Tomando en cuenta sólo al Sol y un planeta, Newton demostró que éste seguía una órbita elíptica perfecta; pero si tomaba en cuenta también la influencia de los demás planetas y satélites, observó que la órbita del planeta objeto de estudio sufriría ciertas desviaciones, con el riesgo de salirse de su recorrido natural.


Era el problema de las perturbaciones planetarias, conocido matemáticamente también como el problema de los tres cuerpos o, en general, el problema de los n cuerpos. Su planteamiento es muy sencillo: dados n cuerpos de distintas masas sometidos a atracción gravitacional mutua, determinar el movimiento de cada uno de ellos en el espacio. Sin embargo, su resolución resultó no ser nada sencilla. Newton, y posteriormente Euler, lo resolvieron para dos cuerpos. Lo siguiente fue intentar encontrar la solución para n=3, porque matemáticamente era el consiguiente paso lógico, y porque las miras estaban puestas en el caso concreto del sistema Sol-Tierra-Luna (y también el sistema Sol-Júpiter-Saturno).


Newton fue el primero en enfrentarse al problema, pero sus cálculos fueron un rotundo fracaso. Según él mismo manifestaría:

“La cabeza nunca me dolía salvo con los estudios sobre la Luna”

El problema es extraordinariamente complejo porque se reduce a tres ecuaciones diferenciales, que no sólo no pueden ser integradas de ninguna forma, sino que también muestran grandes dificultades en el modo de hacer aproximaciones.


El matemático y astrónomo Joseph-Louis Lagrange, consciente de que el tema no podía resolverse ofreciendo una solución general obtuvo, no obstante, algunas soluciones particulares muy interesantes. Concretamente, si los tres cuerpos bajo estudio se encontraban en los vértices de un triángulo equilátero y dos de ellos presentaban masas muy grandes en comparación con la del tercero, era posible dar con una solución exacta. Estos vértices se conocen desde entonces como puntos lagrangianos. Para Lagrange todo esto no era más que un divertimento matemático, sin relación con la realidad. Sin embargo, en 1906, se encontró un grupo de asteroides que formaban con el Sol y Júpiter la disposición descrita por el matemático francés, con el Sol y Júpiter en sendos vértices de un triángulo equilátero y el grupo de asteroides en el tercer vértice. Estos asteroides han sido bautizados con nombres extraídos de La Iliada y La Odisea, por lo que reciben el nombre genérico de “asteroides troyanos”.


En la astronomía del siglo XVIII era una cuestión candente saber si las perturbaciones en el movimiento elíptico de los planetas y la Luna, eran periódicas o acumulativas. En el primer caso, las desviaciones irían compensándose y neutralizándose entre sí, de modo que las órbitas permanecerían estables sin una variación fundamental. En cambio, si eran acumulativas, las desviaciones se incrementarían progresivamente, aunque con lentitud, hasta sacar al planeta de su órbita, desestabilizando el Sistema Solar. Se sabía, por ejemplo, que Júpiter aceleraba su movimiento, al tiempo que Saturno lo ralentizaba. Si estos movimientos continuaban indefinidamente, Júpiter chocaría contra el Sol y Saturno escaparía del Sistema Solar.


El también francés Pierre-Simon de Laplace estaba convencido de que estas perturbaciones no eran acumulativas, sino periódicas y acotadas dentro de unos límites bien determinados. Consiguió deducir una ecuación donde demostró que las desigualdades orbitales de ambos planetas eran periódicas y, por tanto reversibles. Cada 450 años su comportamiento experimentaba un cambio: Júpiter se frenaba y Saturno se aceleraba, regresando a las posiciones iniciales cada 900 años. La razón estribaba en que cinco veces el período de Júpiter era aproximadamente como dos veces el período de Saturno. Tras su éxito con Júpiter y Saturno se puso a explicar las anomalías del movimiento de la Luna. Nuestro satélite no sólo está bajo la influencia gravitatoria de la Tierra, sino también del Sol, que continuamente lo desvía de la elipse ideal que debería trazar en torno nuestro. Probó que el miedo a que la Luna cayera sobre la Tierra o escapara hacía el Sol era infundado, porque la aceleración que se había detectado en su movimiento era consecuencia de la excentricidad de la órbita terrestre. Pero, conforme esta última fuera corrigiéndose (pues en el fondo era periódica), nuestro satélite comenzaría a experimentar un movimiento contrario de desaceleración.


La otra cuestión relacionada con todo esto, era la de la estabilidad del conjunto del Sistema Solar, osea el “problema de los n cuerpos” que, para el caso del Sistema Solar eran el Sol, los siete planetas conocidos entonces, y sus satélites. Aunque débiles en comparación con la fuerza de atracción del Sol, las fuerzas ente los planetas no eran ni mucho menos despreciables, por cuanto a la larga podían desviar algún planeta de su órbita y expulsarlo fuera del Sistema Solar. Newton afirmó que los planetas no recorren dos veces la misma órbita y que este desajuste del Sistema Solar necesitaba a la mano de Dios para reestablecer la armonía cada cierto tiempo. Frente a Newton, Leibniz sostenía que Dios no puede ser un creador tan torpe. Un ser perfecto no podía haber creado una máquina del mundo que tuviera que ser retocada y corregida cada cierto tiempo, como un relojero que diera cuerda al reloj.


Entre 1785 y 1788 Laplace demostró que ni las excentricidades ni las inclinaciones de las órbitas de los planetas eran acumulativas; seguían ciclos periódicos, pero extraordinariamente largos. La conclusión de Laplace era que se trataba de un mecanismo estable autorregulado sin necesidad de recurrir a la providencia divina. Cuando presentó a Napoleón un ejemplar de su Tratado de mecánica celeste, éste le comentó:


-Monsieur Laplace, observo que en este extenso tratado sobre el sistema del mundo no mencionáis en ningún momento a Dios.- A lo que Laplace respondió:

-Sire, no he tenido necesidad de esa hipótesis.


Para resolver las ecuaciones diferenciales implicadas en el problema de los tres cuerpos, Laplace aportó soluciones en forma de series, esto es, por una suma de infinitos términos, en la que el valor de cada uno era mucho menor que el del anterior, y cuya suma debía converger en un valor diferente de infinito. Dado que el valor de los sucesivos sumandos disminuía enormemente a cada paso de la serie, lo que Laplace hizo fue una aproximación pues sólo tomo en consideración los primeros términos de las series, considerando irrelevantes al resto. Sin embargo, ya en el siglo XIX, se advirtió que los optimistas y tranquilizadores pronósticos de Laplace distaban de ser exactos y que la mayoría de las series de la mecánica celeste del siglo anterior no convergían sino que daban infinito por resultado, por lo que no proporcionaban buenas aproximaciones de las que extraer conclusiones válidas sobre la estabilidad planetaria. El matemático francés Urbain Le Verrier –descubridor del planeta Neptuno- repasó los cálculos de Laplace y mostró que los efectos de los términos despreciados podían llegar a ser significativos. Ya en el siglo XX la moderna Teoría del Caos ha evidenciado que pequeños cambios en las condiciones iniciales de los planetas pueden engendrar grandes variaciones en los estados finales, degenerando en una trayectoria inestable y errática. Dicho de otra forma; caótica.


Con todo, estos comportamientos caóticos son siempre para períodos de tiempo muy grandes, mucho más de los contemplados por Laplace. Por ejemplo, con simulaciones por ordenador se ha calculado la trayectoria de Plutón durante los próximos 845 millones de años y se han hallado dos condiciones iniciales muy próximas que divergen notablemente en un plazo de 20 millones de años. Veinte millones de años es un lapso de tiempo muy corto astronómicamente hablando, pero enorme a escala humana y en el que los cálculos de Laplace “entran” sobradamente permitiéndonos continuar tranquilos por la estabilidad del Sistema Solar.