¿ES ESTABLE EL SISTEMA SOLAR?

En su obra Principia, Newton estableció que de la misma manera que los planetas gravitan hacia el Sol, éste gravita hacia los planetas. Todo cuerpo del Sistema Solar, planetas, satélites, etc., no sólo está sometido a la atracción solar, sino también a la interacción gravitatoria del resto, todos entre sí. Tomando en cuenta sólo al Sol y un planeta, Newton demostró que éste seguía una órbita elíptica perfecta; pero si tomaba en cuenta también la influencia de los demás planetas y satélites, observó que la órbita del planeta objeto de estudio sufriría ciertas desviaciones, con el riesgo de salirse de su recorrido natural.

Era el problema de las perturbaciones planetarias, conocido matemáticamente también como el problema de los tres cuerpos o, en general, el problema de los n cuerpos. Su planteamiento es muy sencillo: dados n cuerpos de distintas masas sometidos a atracción gravitacional mutua, determinar el movimiento de cada uno de ellos en el espacio. Sin embargo, su resolución resultó no ser nada sencilla. Newton, y posteriormente Euler, lo resolvieron para dos cuerpos. Lo siguiente fue intentar encontrar la solución para n=3, porque matemáticamente era el consiguiente paso lógico, y porque las miras estaban puestas en el caso concreto del sistema Sol-Tierra-Luna (y también el sistema Sol-Júpiter-Saturno).

Newton fue el primero en enfrentarse al problema, pero sus cálculos fueron un rotundo fracaso. Según él mismo manifestaría:

“La cabeza nunca me dolía salvo con los estudios sobre la Luna”

El problema es extraordinariamente complejo porque se reduce a tres ecuaciones diferenciales, que no sólo no pueden ser integradas de ninguna forma, sino que también muestran grandes dificultades en el modo de hacer aproximaciones.

El matemático y astrónomo Joseph-Louis Lagrange, consciente de que el tema no podía resolverse ofreciendo una solución general obtuvo, no obstante, algunas soluciones particulares muy interesantes. Concretamente, si los tres cuerpos bajo estudio se encontraban en los vértices de un triángulo equilátero y dos de ellos presentaban masas muy grandes en comparación con la del tercero, era posible dar con una solución exacta. Estos vértices se conocen desde entonces como puntos lagrangianos. Para Lagrange todo esto no era más que un divertimento matemático, sin relación con la realidad. Sin embargo, en 1906, se encontró un grupo de asteroides que formaban con el Sol y Júpiter la disposición descrita por el matemático francés, con el Sol y Júpiter en sendos vértices de un triángulo equilátero y el grupo de asteroides en el tercer vértice. Estos asteroides han sido bautizados con nombres extraídos de La Iliada y La Odisea, por lo que reciben el nombre genérico de “asteroides troyanos”.

En la astronomía del siglo XVIII era una cuestión candente saber si las perturbaciones en el movimiento elíptico de los planetas y la Luna, eran periódicas o acumulativas. En el primer caso, las desviaciones irían compensándose y neutralizándose entre sí, de modo que las órbitas permanecerían estables sin una variación fundamental. En cambio, si eran acumulativas, las desviaciones se incrementarían progresivamente, aunque con lentitud, hasta sacar al planeta de su órbita, desestabilizando el Sistema Solar. Se sabía, por ejemplo, que Júpiter aceleraba su movimiento, al tiempo que Saturno lo ralentizaba. Si estos movimientos continuaban indefinidamente, Júpiter chocaría contra el Sol y Saturno escaparía del Sistema Solar.

El también francés Pierre-Simon de Laplace estaba convencido de que estas perturbaciones no eran acumulativas, sino periódicas y acotadas dentro de unos límites bien determinados. Consiguió deducir una ecuación donde demostró que las desigualdades orbitales de ambos planetas eran periódicas y, por tanto reversibles. Cada 450 años su comportamiento experimentaba un cambio: Júpiter se frenaba y Saturno se aceleraba, regresando a las posiciones iniciales cada 900 años. La razón estribaba en que cinco veces el período de Júpiter era aproximadamente como dos veces el período de Saturno. Tras su éxito con Júpiter y Saturno se puso a explicar las anomalías del movimiento de la Luna. Nuestro satélite no sólo está bajo la influencia gravitatoria de la Tierra, sino también del Sol, que continuamente lo desvía de la elipse ideal que debería trazar en torno nuestro. Probó que el miedo a que la Luna cayera sobre la Tierra o escapara hacía el Sol era infundado, porque la aceleración que se había detectado en su movimiento era consecuencia de la excentricidad de la órbita terrestre. Pero, conforme esta última fuera corrigiéndose (pues en el fondo era periódica), nuestro satélite comenzaría a experimentar un movimiento contrario de desaceleración.

La otra cuestión relacionada con todo esto, era la de la estabilidad del conjunto del Sistema Solar, osea el “problema de los n cuerpos” que, para el caso del Sistema Solar eran el Sol, los siete planetas conocidos entonces, y sus satélites. Aunque débiles en comparación con la fuerza de atracción del Sol, las fuerzas ente los planetas no eran ni mucho menos despreciables, por cuanto a la larga podían desviar algún planeta de su órbita y expulsarlo fuera del Sistema Solar. Newton afirmó que los planetas no recorren dos veces la misma órbita y que este desajuste del Sistema Solar necesitaba a la mano de Dios para reestablecer la armonía cada cierto tiempo. Frente a Newton, Leibniz sostenía que Dios no puede ser un creador tan torpe. Un ser perfecto no podía haber creado una máquina del mundo que tuviera que ser retocada y corregida cada cierto tiempo, como un relojero que diera cuerda al reloj.

Entre 1785 y 1788 Laplace demostró que ni las excentricidades ni las inclinaciones de las órbitas de los planetas eran acumulativas; seguían ciclos periódicos, pero extraordinariamente largos. La conclusión de Laplace era que se trataba de un mecanismo estable autorregulado sin necesidad de recurrir a la providencia divina. Cuando presentó a Napoleón un ejemplar de su Tratado de mecánica celeste, éste le comentó:

-Monsieur Laplace, observo que en este extenso tratado sobre el sistema del mundo no mencionáis en ningún momento a Dios.- A lo que Laplace respondió:

-Sire, no he tenido necesidad de esa hipótesis.

Para resolver las ecuaciones diferenciales implicadas en el problema de los tres cuerpos, Laplace aportó soluciones en forma de series, esto es, por una suma de infinitos términos, en la que el valor de cada uno era mucho menor que el del anterior, y cuya suma debía converger en un valor diferente de infinito. Dado que el valor de los sucesivos sumandos disminuía enormemente a cada paso de la serie, lo que Laplace hizo fue una aproximación pues sólo tomo en consideración los primeros términos de las series, considerando irrelevantes al resto. Sin embargo, ya en el siglo XIX, se advirtió que los optimistas y tranquilizadores pronósticos de Laplace distaban de ser exactos y que la mayoría de las series de la mecánica celeste del siglo anterior no convergían sino que daban infinito por resultado, por lo que no proporcionaban buenas aproximaciones de las que extraer conclusiones válidas sobre la estabilidad planetaria. El matemático francés Urbain Le Verrier –descubridor del planeta Neptuno- repasó los cálculos de Laplace y mostró que los efectos de los términos despreciados podían llegar a ser significativos. Ya en el siglo XX la moderna Teoría del Caos ha evidenciado que pequeños cambios en las condiciones iniciales de los planetas pueden engendrar grandes variaciones en los estados finales, degenerando en una trayectoria inestable y errática. Dicho de otra forma; caótica.

Con todo, estos comportamientos caóticos son siempre para períodos de tiempo muy grandes, mucho más de los contemplados por Laplace. Por ejemplo, con simulaciones por ordenador se ha calculado la trayectoria de Plutón durante los próximos 845 millones de años y se han hallado dos condiciones iniciales muy próximas que divergen notablemente en un plazo de 20 millones de años. Veinte millones de años es un lapso de tiempo muy corto astronómicamente hablando, pero enorme a escala humana y en el que los cálculos de Laplace “entran” sobradamente permitiéndonos continuar tranquilos por la estabilidad del Sistema Solar.